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高考数学-下学期高三年级一模考试.docx

高中数学学*材料
鼎尚图文*整理制作

2015-2016 学年度下学期高三年级一模考试

理数试卷

第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.

1.设命题甲: ax2 ? 2ax ?1 ? 0 的解集是实数集 R ;命题乙: 0 ? a ? 1,则命题甲是命题乙成立的( )

A.充分不必要条件

B.充要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2.设 a,b ? R 且 b ? 0 ,若复数 ?a ? bi?3 ( i 为虚数单位)是实数,则( )

A. b2 ? 3a2

B. a2 ? 3b2

C. b2 ? 9a2

D. a2 ? 9b2

? ? 3.等差数列

an

中, an 是一个与 n 无关的常数,则该常数的可能值的集合为( a2n



A.?1?

B.

??1, ?

1 2

? ? ?

C.

? ? ?

1 2

? ? ?

D.

??0,1, ?

1 2

? ? ?

4. ?ABC 中三边上的高依次为 1 , 1 , 1 ,则 ?ABC 为( 13 5 11
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形

) D.不存在这样的三角形

6.已知 F 是椭圆 C : x2 ? y2 ? 1的右焦点,P 是 C 上一点,A??2,1? ,当 ?APF 周长最小时,其面积为( )
20 4

A.4 B.8 C. 3

D. 2 2

7.已知等式 x4 ? a1x3 ? a2x2 ? a3x ? a4 ? ? x ?1?4 ? b1 ? x ?1?3 ? b2 ? x ?1?2 ? b3 ? x ?1? ? b4 ,定义映射

f : ?a1, a2, a3, a4 ? ? ?b1,b2,b3,b4 ?,则 f ?4,3, 2,1? ? ( )

A. ?1, 2,3, 4?

B. ?0,3,4,0? C. ?0, ?3, 4, ?1? D. ??1,0, 2, ?2?

8.如图所示是一几何体的三视图,正视图是一等腰直角三角形,且斜边 BD 长为 2,侧视图是一直角三角形, 俯视图为一直角梯形,且 AB ? BC ?1,则异面直线 PB 与 CD 所成角的正切值是( )

A.1

B. 2

C. 2 2

D. 1 2

9.某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系,随机抽取高二年级 20 名学生某次考试成 绩(百分制)如下表所示:
若数学成绩 90 分(含 90 分)以上为优秀,物理成绩 85(含 85 分)以上为优秀.有多少把握认为学生的学 生成绩与物理成绩有关系( )
A. 99.9% B. 99.5% C. 97.5% D. 95%
参考数据公式:①独立性检验临界值表

②独立性检验随机变量

K2

的值的计算公式:

K

2

?

?a

?

n?ad ? bc?2 b??c ? d ??a ? c??b

?

d

?

10.在一个棱长为 4 的正方体内,你认为最多放入的直径为 1 的球的个数为( )

A.64 B.65 C.66 D.67

11.定义:分子为 1 且分母为正整数的分数成为单位分数,我们可以把 1 分拆为若干个不同的单位分数之和.

如:1 ? 1 ? 1 ? 1 ,1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ,1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ,依次类推可得: 2 3 6 2 4 6 12 2 5 6 12 20

1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ,其中 m ? n, m, n ? N ? .设 2 6 12 m n 30 42 56 72 90 110 132 156

1 ? x ? m,1 ? y ? n ,则 x ? y ? 2 的最小值为( ) x ?1

A. 23 2

B. 5 2

C. 8 7

D. 34 3

12.已知 a,b ? R ,直线 y ? ax ? b ? ? 与函数 f ? x? ? tan x 的图像在 x ? ? ? 处相切,设

2

4

g ? x? ? ex ? bx2 ? a ,若在区间?1, 2?上,不等式 m ? g ? x? ? m2 ? 2 恒成立,则实数 m ( )

A.有最小值 ?e

B.有最小值 e

C.有最大值 e

D.有最大值 e ?1

第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
? ? 13.已知函数 f ? x? ? x2 ? ax的图像在点 A 1, f ?1? 处的切线与直线 x ? 3y ? 2 ? 0垂直,执行如图所示的

程序框图,输出的 k 值是

.

14.在直角坐标系 xOy 中,已知点 A?0,1? 和点 B??3, 4? ,若点 C 在 ?AOB 的*分线上,且 OC ? 2 ,则

OC ?

.

15.如图,将*面直角坐标系中的纵轴绕原点 O 顺时针旋转 30? 后,构成一个斜坐标*面 xOy .在此斜坐标

*面 xOy 中,点 P? x, y? 的坐标定义如下:过点 P 作两坐标轴的*分线,分别交两轴于 M , N 两点,则 M

在 Ox 轴上表示的数为 x , N 在 Oy 轴上表示的数为 y .那么以原点 O 为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方

程为

.

16.已知 ?ABC 的面积为 S ,内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ,且 2 sin C, sin B, cos A 成等比数列,

b ? 2 a, 2 ? 1 c2 ? 3 ac ? 18 ,则 4?c ?1?2 的最小值为

.

3

22

9 2S ?16a

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(本小题满分 12 分)设等比数列?an? 的前 n 项和为 Sn ,已知, a1 ? 2 ,且 4S1, 3S2 , 2S3 成等差数列.

(1)求数列?an? 的通项公式;

(2)设 bn ? 2n ? 5 ? an ,求数列?bn? 的前 n 项和Tn .

18(本小题满分 12 分)如图,四边形 PCBM 是直角梯形, ?PCB ? 90?, PM BC, PM ? 1, BC ? 2 ,又

AC ? 1, ?ACB ? 120?, AB ? PC ,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60? . (1)求证: PC ? AC ; (2)求二面角 M ? AC ? B 的余弦值; (3)求点 B 到*面 MAC 的距离.

19.(本小题满分 12 分)电子商务在我国发展迅猛,网上购物成为很多人的选择.某购物网站组织了一次促

销活动,在网页的界面上打出广告:高级口香糖,10 元钱三瓶,有 8 种口味供你选择(其中有一种为草莓 口味).小王点击进入网页一看,只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起,看不见具体口味,由购 买者随机点击进行选择(各种口味的高级口香糖均超过 3 瓶,且各种口味的瓶数相同,每点击选择一瓶后, 网页自动补充相应的口香糖). (1)小王花 10 元钱买三瓶,请问小王共有多少种不同组合选择方式?
(2)小王花 10 元钱买三瓶,由小王随机点击三瓶,请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数? 的分布列,

并计算其数学期望和方差.

20.(本小题满分

12 分)已知椭圆 C1 :

x2 a2

?

y2 b2

? 1? a

?b

? 0? 的离心率为

2 ,其短轴的下端点在抛物线 2

x2 ? 4 y 的准线上.

(1)求椭圆 C1 的方程; (2)设 O 为坐标原点,M 是直线 l : x ? 2 上的动点,F 为椭圆的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆 C2 相交于 P,Q 两点,与椭圆 C1 相交于 A, B 两点,如图所示.

①若 PQ ? 6 ,求圆 C2 的方程; ②设 C2 与四边形 OAMB 的面积分别为 S1, S2 ,若 S1 ? ?S2 ,求 ? 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)设 a 为实数,函数 f ? x? ? x2e1?x ? a? x ?1? .

(1)当

a

? 1 时,求

f

?

x?



? ??

3 4

,

2

? ??

上的最大值;

? ? (2)设函数 g ? x? ? f ? x? ? a x ?1? e1?x , 当 g ? x? 有两个极值点 x1, x2 ? x1 ? x2 ? 时,总有

x2g ? x1 ? ? ? f ' ? x1 ? ,求实数 ? 的值( f ' ? x? 为 f ? x? 的导函数).
请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

如图, ?ABC 内接于直径为 BC 的圆 O ,过点 A 作圆 O 的切线交 CB 的延长线于点 P, ?BAC 的*分线分 别交 BC 和圆 O 于点 D, E ,若 PA ? 2PB ?10 . (1)求证: AC ? 2AB ; (2)求 AD? DE 的值.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

已知曲线 C1

:

?x

? ?

y

? ?

?4 ? cos t 3 ? sin t



t

为参数), C2

:

?x

? ?

y

? 8cos? ? 3sin?

(?

为参数).

(1)化 C1, C2 的方程为普通方程,并说明他们分别表示什么曲线;

(2)若

C1

上的点

P

对应的参数为

t

?

? 2

,Q



C2

上的动点,求

PQ

的中点

M

到直线 C3

:

?x

? ?

y

? ?

3? ?2

2t ?t

(t



参数)距离的最小值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

已知函数 f ? x? ? x ? a ? 2 x ?1 ?a?R? .

(1)当 a ? 3时,求函数 f ? x? 的最大值;

(2)解关于 x 的不等式 f ? x? ? 0 .

参考答案及解析

一、选择题 1-5 CABCC 二、填空题

6-10 ACCBC 11-12 CD

13. 6

14.

? ??? ?

10 5

,

3

10 5

? ???

15. x2 ? y2 ? xy ?1 ? 0

16. 3 4

(2) 当 n ? 1, 2 时, 2n ?5 ? 0 ,当 n ? 3时,Tn ?10 ?1?23 ? 3?24 ? ? ?2n ?5??2n
2Tn ? 20 ?1?24 ? 3? 25 ? ? ?2n ? 5?? 2n?1,两式相减,得
? ? 24 1? 2n?3 ? ? ?Tn ? ?10 ? 8 ? 2 24 ? 25 ? ? 2n ? ?2n ? 5?? 2n?1 ? ?2 ? 2? 1? 2 ? ?2n ? 5?? 2n?1
? ?34 ? ?7 ? 2n?? 2n?1
?Tn ? 34 ? ?2n ? 7?? 2n?1
?6, n ? 1 ? ?Tn ? ?10, n ? 2
??34 ? ?2n ? 7?? 2n?1, n ? 3
18.(1) PC ? BC, PC ? AB, AB ? BC ? B
?PC ? *面 ABC , AC ? *面 ABC ,?PC ? AC (2)在*面 ABC 内,过点 C 作 BC 的垂线,并建立空间直角坐标系,如图所示

设 P ?0, 0, z??CP ? ?0, 0, z?, AM

?

?

0,1,

z

?

?

? ???

3 2

,

?

1 2

,

0

? ???

?

? ???

?

3 2

,

3 2

,

z

? ???

cos 60? ? cos? AM ?CP ? AM ?CP ? z2 ,且 z ? 0 AM ? CP 3 ? z2 ? z

?

z z2 ?3

?

1?z 2

? 1? AM

?

? ??? ?

3 2

,

3 2

? ,1???

设*面 MAC 的一个法向量为 n ? ? x, y,1?

则由

??n ?

?

AM

?

0

??n ?CA ? 0

?

? ??? ?

3 2

? ??

3 2

x

x? ?1
2

3 2
y

y ?1? ?0

0? ? ?? x ?? y

?? 3 3
? ?1

,? n

?

? ??? ?

3 3

,

? ?1,1???

?*面 ABC 的一个法向量为 CP ? ?0,0,1?

cos?n,CP? ? n ?CP ? 21 n ? CP 7
显然,二面角 M ? AC ? B 为锐二面角,

所以二面角 M ? AC ? B 的余弦值为 21 7
(3)点 B 到*面 MAC 的距离

d ? CB ? n ? 2 21 .

n

7

19.(1)若三瓶口味均不一样,有 C83 ? 56 若其中两瓶口味不一样,,有 C81C71 ? 56 ,若三瓶口味一样,有 8 种,

所以小王共有 56+56+8=120 种选择方式

(2)? 可能的取值为 0,1,2,3

由于各种口味的高级口香糖均不超过 3 瓶,且各种口味的瓶数相同,有 8 种不同口味

所以小王随机点击一次获得草莓味口香糖的概率为 1 8

故随机变量? 服从二项分布,即?

B

? ??

3,

1 8

? ??

P ??

?

0?

?

C30

? 1 ?0 ?? 8 ??

???1?

1 ?3 8 ??

?

343 512



P ??

? 1?

?

C31

? ??

1 8

?1 ??

???1

?

1 ?2 8 ??

?

147 512

P ??

?

2?

?

C32

?

1

2
?

?? 8 ??

???1?

1

1
?

8 ??

?

21 512



P ??

?

3?

?

C33

?

1

3
?

?? 8 ??

???1?

1

0
?

8 ??

?

1 512

所以? 的分布列为

?

0

1

2

3

P

343

147

21

1

512

512

512

512

期数学期望 E ?? ? ? np ? 3? 1 ? 3
88

方差 D?? ? ? np ?1? p? ? 3? 1 ? 7 ? 21
8 8 64

20.(1) 椭圆短轴下端点在抛物线 x2 ? 4 y 的准线上,?b ? 1

e? c ? a

a2 ? b2 a2

?

2 ,?a ? 2

2

所以椭圆 C1 的方程为

x2 2

?

y2

?1

(2)①由(1),知

F

?1,

0?

,设

M

?

2,

t

?

,则

C

2

的圆心坐标为

???1,

t 2

? ??

C2

的方程为 ? x

?1?2

?

? ??

y

?

t 2

?2 ??

?1?

t2 4

,当 t

?

0 时,

PQ 所在直线方程为

x

?1 ,此时

PQ

?

2 ,与题意

不符,不成立,?t ? 0 .
?可设直线 PQ 所在直线方程为 y ? ? 2 ? x ?1??t ? 0? ,即 2x ? ty ? 2 ? 0?t ? 0?
t

又圆 C2 的半径 r ?

1? t2 ? 1 42

t2 ?4

? ? ?
由? ?

PQ 2

?2 ? ?

?d2

?

r2

? ,得 ???

6 2

?2 ???

?

1 4

? ??
?

t2 t2 ?

4

2
? ? ?

?

1 4

t2 ? 4

解得 t2 ? 4 ? t ? ?2

?圆 C2 的方程为 ? x ?1?2 ? ? y ?1?2 ? 2 或 ? x ?1?2 ? ? y ?1?2 ? 2

②当 t ? 0 ,由①,知 PQ 的方程为 2x ? ty ? 2 ? 0

? ? ? x2



? ?

2

?

y2

?1

消去 y ,得 8 ? t2 x2 ?16x ? 8 ? 2t2 ? 0

??2x ? ty ? 2 ? 0

? ?? ? ? ? 则 ? ? ??16?2 ? 4 8 ? t2 8 ? 2t2 ? 8 t4 ? 4t2 ? 0

16

8 ? 2t2

? x1 ? x2 ? 8 ? t 2 , x1x2 ? 8 ? t 2

?? ??? ? ? AB ?

? ?1 ? ??

? ??

?

2 t

2
? ??

? ? ??

???

x1

?

x2

?2

?

4 x1 x2

? ?

?

t2 ? 4 ? 162 ? 4 t2

8 ? t2 8 ? t2

8 ? 2t2
2

? 2 2? t2 ? 4 8?t2

? ? ?S2

?

1? 2

OM

?

AB

?

1? 2

t2 ?4?2

2

?

t2 ?4 8?t2

?

2 t2 ?4 t2 ?4 t2 ?8

? ? S1

?

?r2

?

? 4

t2 ? 4

,

S1 ? ?S2

? ? S1 ? S2

? ?t2 ? 4?

4

?

? ? 2 t2 ? 4 t2 ? 4

2? ? t2 ? 8 ?

8

t2 ?4

2? ?

8

? ?

t2 ? 4 ?

4

? ??

t2 ?4 ?

2? ? 4 ? 8

2? 2

t2 ?8

当且仅当 t2 ? 4 ? 4 ,即 t ? 0 时取等号 t2 ? 4

又 t ? 0,?? ? 2 ? ,当 t ? 0 时,直线 PQ 的方程为 x ?1 2

AB ?

2, OM

? 2 ,?S2

?1 2

OM

?

AB

?

2

? S1

??

?1 ?? 2

OM

?2 ??

??

,??

?

S1 S2

?

?? 2

2? 2

综上, ? ? 2 ? 2

? 所以实数 ? 的取值范围为 ?
?

2 2

?

,

??

? ???

.

21.(1)当 a ?1时, f ? x? ? x2e1?x ?? x ?1?

? ? 则 f ' ? x? ?

2x ? x2

? ? ? ? e1?x

?1 ?

2x

? x2 ? ex?1 e x ?1

,令 h

x

? 2x ? x2 ? ex?1,则 h'

x

? 2 ? 2x ? ex?1

显然

h'

?

x

?

在区间

? ??

3 4

,

2

? ??

内是减函数,又

h'

? ?

?

3? 4 ??

?

1 2

?

1 4e

?

0

,在区间

? ??

3 4

,

2

? ??

内,总有

h'

?

x

?

?

0

?h

?

x

?

在区间

? ??

3 4

,

2

? ??

内是减函数,又

h?1?

?

0?当

x

?

? ??

3 4

,1???

时,

h

?

x

?

?

0



? f ' ? x? ? 0 ,此时 f ? x? 单调递增;

当 x ??1, 2? 时, h? x? ? 0

? f ' ? x? ? 0 ,此时 f ? x? 单调递减;

?

f

?

x?

在区间

? ??

3 4

,

2

? ??

内的极大值也即最大值是

f

?1?

?1

? ? ? ? ? ? (2)由题意,知 g ? x? ? x2 ? a e1?x ,则 g' ? x? ? 2x ? x2 ? a e1?x ? ?x2 ? 2x ? a e1?x

根据题意,方程 ?x2 ? 2x ? a ? 0 有两个不同的实根 x1, x2 ? x1 ? x2 ?
?? ? 4 ? 4a ? 0 ,即 a ? ?1,且 x1 ? x2 ? 2
x1 ? x2 ? x1 ? 1,且x2 ? 2 ? x1 ,由 x2g ? x1 ? ? ? f ' ? x1 ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 其中 f ' x ? 2x ? x2 e1?x ? a ,得 2 ? x1 x12 ? a e1?x1 ? ? ?? 2x1 ? x12 e1?x1 ? 2x1 ? x12 ??
?x12 ? 2x1 ? a ? 0
? ? ? ? ? ? ? ? 所以上式化为 2 ? x1 2x1 e1?x1 ? ? ?? 2x1 ? x12 e1?x1 ? 2x1 ? x12 ??
? ? 又 2 ? x1 ? 0 ,所以不等式可化为 x1 ??2e1?x1 ? ?e1?x1 ?1?? ? 0 ,对任意的 x1 ? ??,1 恒成立.

①当 x1 ? 0 , x1 ??2e1?x1 ? ?e1?x1 ?1?? ? 0 不等式恒成立, ? ? R ;

? ? ②当 x1 ?

0,1

时, 2e1?x1

? ?e1?x1

?1?

0 恒成立, ?

?

2e1? x1 e1?x1 ? 1

? ? 令函数 k x ? 2e1?x1 ? 2 ? 2

e1?x1 ?1

e1?x1 ? 1

显然 k ? x? 是 R 内的减函数,当 x ??0,1?, k ? x? ? k ?0? ? 2e ?? ? 2e

e ?1

e ?1

? ? ③ x1 ?

??, 0

时, 2e1?x1

? ?e1?x1

?1?

0 恒成立,即 ?

?

2e1? x1 e1?x1 ? 1

由②,当 x????,0? , k ? x? ? k ?0? ? 2e ,即 ? ? 2e

e ?1

e ?1

综上所述, ? ? 2e . e ?1

22.(1) PA是圆 O 的切线,??PAB ? ?ACB ,又 ?P 是公共角,??ABP

? CAP

? CA ? AP ? 2? AC ? 2AB ; AB BP

(2)由切割线定理,得 PA2 ? PB ? PC,? PC ? 20 ,又 PB ? 5, BC ?15

又 AD 是 ?BAC 的*分线,? AC ? CD ? 2 AB DB
由相交弦定理,得 AD? DE ? CD? DB ? 50 .

23.(1) C1 : ? x ? 4?2

? ? y ? 3?2

? 1, C2

x2 :
64

?

y2 9

?1

C1 为圆心是 ??4,3? ,半径是 1 的圆,C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的
椭圆.

(2)当

t

?

? 2

时,

P ? ?4, 4? , Q ?8cos? , 3sin?

?

,故

M

? ??

?2

?

4

cos?

,2

?

3 2

sin ?

? ??

C3 的普通方程为 x ? 2 y ? 7 ? 0 , M 到 C3 的距离 d ?

5 4 cos? ? 3sin? ?13 5

所以当 cos? ? 4 ,sin? ? ? 3 时, d 取得最小值 8 5 .

5

5

5

??x ?1,? x ? 3?

24.(1)当 a ? 3时,

f

?x? ?

x?3

?2

x ?1

?

? ??3x

?

5,

?1

?

x ? 3?

? ?

x

?

1,

?

x

?

1?

所以当 x ?1,函数 f ? x? 取得最大值 2.

(2)由 f ? x? ? 0 ,得 x ? a ? 2 x ?1 两边*方,得 ? x ? a?2 ? 4? x ?1?2 即 3x2 ? 2?a ? 4? x ? 4 ? a2 ? 0

得 ??x ? ?2 ? a??? ??3x ? ?2 ? a??? ? 0 ,

所以当

a

?

1

时,不等式的解集为

???2

?

a,

2

? 3

a

? ??

当 a ?1时,不等式的解集为?x | x ?1?



a

?

1

,不等式的解集为

? ??

2

? 3

a

,

2

?

a

? ??

.




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